下面介绍正方形反射镜情况下共焦腔中方程(2 .3 .18) 的近似解。

对于所涉及到的椭球函数,不做数学上的专门介绍。 在方形反射镜情况下,方程( 2 .3 .18 )重表示为

(2 .3 .19)

u ( y )的方程与 u ( x )方程相同。令

其中为谐振腔的菲涅耳系数, 则方程式(2 .3 .18) 重表示为

(2 .3 .20)

在 c 为有限值的情况下, 上式的解为角向长椭球函数。当 x , yn a 时, 即在共焦腔反射镜面中 心附近,角向长椭球函数可近似表示为厄米多项式与高斯函数的乘积, 即

(2 .3 .21)

式中, Cm , Cl 为常数; H m ( X) 、Hl ( Y )为厄米多项式, 相应本征值为

(2 .3 .22)

其中 R ( 1 ) 0 l ( c,1 )、R ( 1 ) 0 l ( c,1 )为径向长椭球函数。可以看出, 在共焦腔中存在一系列自再现模 解,每个解有不同的场分布、不同的本征值 ( 不同的单程渡越相移和不同的衍射损耗 )。将 ( X, Y )换成( x , y ) ,第 m , l 阶模式的场表达式为

(2 .3 .23)

该光束称为厄米 -高斯光束。 最低阶的厄米 -高斯光束 m = l = 0, 即基横模高斯光束为

(2 .3 .24)

场分布为简单的高斯函数分布,镜中心场最强, 离开中心,场随半径增加按指数函数下降。令光斑半径为

(2 .3 .25)

可将场表达式重新表示为

(2 .3 .26)

根据厄米多项式的解析表达式,不难给出最低几阶高阶模的场表达式。 显然,这些高阶高斯模式会在空间的横平面上形成如图 1 -7 所示的强度花样。

下面讨论共焦腔的厄米 -高斯光束的附加相位。由于长椭球函数 R ( 1 ) 0 m ( c, 1 ) 、R ( 1 ) 0 l ( c, 1) 为实函数,单程相移为

(2 .3 .27)

可见镜面为等相位面(δΦ与 x、y 无关)。单程相 移为几何相移 - kL 和附加相移之 和。单程损耗因子为

分析表明,共焦腔的损耗仅决定于腔的菲涅耳系数( N = a 2 / Lλ)。同一阶模式, 菲涅耳系数越大,损耗越低; 模的阶次越高,损耗越高。代入径向长椭球函数的具体值,得到的单程功率损耗随 N 的变化如图 2 -4 所示。

以上给出的是共焦腔镜面上的场分布。利用基耳霍夫 -菲涅耳衍射积分公式, 可以求出空间任意点的场。选择坐标点在腔的中心,场的表达式为

(2 .3 .29)

而任意位置( x , y , z) 处的相位 Φ( x , y, z)为

(2 .3 .31)

其中 z0 = L/ 2 ,而且

(2 .3 .32)

式(2 .3 .30) 表明在 z = 0 ,即腔的中心处, 光斑 w( z = 0) 为极小值。

为了确定等相位面,考虑等相位面与光轴相交的点( x = 0、y = 0、z = z1 )的相位

(2 .3 .33)

忽略因为 z 的微小变化引起的 Ψ 的变化,由等相位面方程 Φ( x , y, z) =Φ( 0, 0, z1 )得到

(2 .3 .34)

其中 ξ1 = z1/ z0。可见等相位面近似为抛物面, 抛物面顶点位于 z1 处,抛物面的焦距为

(2 .3 .35)

在光轴附近,即在 rn 2 F 的范围内。可以证明, 抛物面近似为球面,球面的曲率半径为

(2 .3 .36)

前已说明,共焦腔基模光束按双曲线从腔中心向外扩散, 这也反映了光束在空间的发散。 定义双曲线的两条渐近线之间的夹角为光束发射全角 θ, 则

(2 .3 .37)

(2 .3 .38)